Question

3．如图所示是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 建立空间坐标系，分别求出两条异面直线的方向向量，利用向量的夹角公式即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间坐标坐标系．

取正方体的棱长为2．
则B（1，2，0），A（2，2，1），D（2，0，2），C（2，1，0）．
∴$\overrightarrow{BA}$=（1，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，2）．
∴cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{|\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CD}|}{\left|\overrightarrow{BA}\right|•\left|\overrightarrow{CD}\right|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴异面直线AB和CD的夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了建立空间直角坐标系并利用向量的夹角公式求异面直线的夹角方法，属于基础题．