Question

6．命题p：函数f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+2x+{b}^{2}+2}$的值域为集合A，命题q：函数g（x）=[x²-（a-$\frac{1}{2}$）x+c]|x|是偶函数．
（1）若命题q为假命题，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，设a的取值范围为B，若（∁_UB）?A，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出满足命题q为真命题时a的取值范围，进而求出其补集，可得命题q为假命题时，实数a的取值范围；
（2）若（∁_UB）?A，则$\frac{1}{2}$∈A，结合二次函数的图象和性质，求出集合A，进而可得实数b的取值范围．

解答 解：（1）若命题q为真命题，
则g（-x）=[（-x）²-（a-$\frac{1}{2}$）（-x）+c]|-x|=[x²+（a-$\frac{1}{2}$）x+c]|x|=g（x）=[x²-（a-$\frac{1}{2}$）x+c]|x|，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
若命题q为假命题，则a≠$\frac{1}{2}$，
故满足条件的实数a的取值范围为（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）由已知可得B=（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）；
∴∁_UB={$\frac{1}{2}$}，
若（∁_UB）?A，
则$\frac{1}{2}$∈A，
由x²+2x+b²+2=（x+1）²+b²+1≥b²+1，
∴$\frac{1}{{x}^{2}+2x+{b}^{2}+2}$∈（0，$\frac{1}{{b}^{2}+1}$]，
则$\frac{1}{{b}^{2}+1}$≥$\frac{1}{2}$，
即b²+1≤2，
解得b∈[-1，1]

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，集合的包含关系，函数的图象和性质，是函数，集合与简单逻辑的综合应用，难度中档．