Question

12．已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a，b∈R满足f（a•b）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{n}$（∈N⁺），b_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$（n∈N⁺）
考察下列结论：
①f（0）=f（1）；②f（x）为偶函数；
③数列{a_n}为等比数列；④数列{b_n}为等差数列．
其中正确的结论是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 令x=y=0得f（0）=0，令x=y=1得f（1）=0判断①；用特例：f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2）判断②；利用题意得f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，求出a_n和b_n，由等差、等比数列的定义判断③④．

解答 解：①、取a=b=0，可得f（0）=0，取a=b=1，可得f（1）=0，
∴f（0）=f（1），即①正确，
②、∵f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），
∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函数，②错；
又∵f（ab）=af（b）+bf（a），
∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ=…=n•2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ，b_n=n，
则数列{a_n}为等比数列，数列{b_n}为等差数列，
∴①③④都正确，
故选：D．

点评 本题考查数列与抽象函数的综合运用，考查抽象函数的奇偶性，赋值法，等差数列，等比数列的定义及通项公式的特点，属于中档题．