Question

下列四个命题中正确的有

 

（填上所有正确命题的序号）
①若实数a，b，c满足a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个不小于1
②若z为复数，且|z|=1，则|z-i|的最大值等于2
③任意x∈（0，+∞），都有x＞sinx
④定积分

∫

π 0

π-x2

dx=

π2

4

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,微积分基本定理,复数求模

专题：函数的性质及应用,数系的扩充和复数

分析：①可运用反证法，即可判断；②运用|z-i|≤|z|+|-i|=2，即可得到最大值；
③运用导数，判断函数的单调性，再由单调性可证；
④定积分

∫

π 0

π-x2

dx表示

1

4

圆y=

π-x2

（0＜x＜

π

）的面积，算出即可．

解答： 解：①若实数a，b，c满足a+b+c=3，则用反证法，假设a，b，c都小于1，则a+b+c＜3，矛盾，故可得a，b，c中至少有一个不小于1，故①正确；
②若z为复数，且|z|=1，则由|z-i|≤|z|+|-i|=2，可得|z-i|的最大值等于2，故②正确；
③任意x∈（0，+∞），根据（x-sinx）的导数为1-cosx≥0，可得（x-sinx）在R上为增函数，
再根据当x=0时，（x-sinx）=0，可得任意x∈（0，+∞），都有x-sinx＞0，故③正确．
④定积分

∫

π 0

π-x2

dx表示

1

4

圆y=

π-x2

（0＜x＜

π

）的面积，则为

π2

4

，故④正确．
故答案为：①②③④

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查函数的单调性及应用，复数的几何意义，及定积分的几何意义，属于中档题．