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已知:不等式x2-logmx<0.在0<x <
1
2
上恒成立,则实数m的取值范围是
1
16
≤m<1
1
16
≤m<1
分析:根据不等式x2-logmx<0,在0<x <
1
2
上恒成立,可转化为x2<logmx,在0<x <
1
2
上恒成立,然后结合图形,考虑零界位置可求出m的范围.
解答:解:不等式x2-logmx<0,在0<x <
1
2
上恒成立,
转化为x2<logmx,在0<x <
1
2
上恒成立,
即x∈(0,
1
2
)时,
函数f(x)=x2的图象恒在g(x)=logmx的图象的下方.
由图象可知0<m<1,若x=
1
2
时,两图象相交,
(
1
2
)
2
=logm
1
2
,解得m=
1
16
,所以m范围为
1
16
≤m<1

故答案为:
1
16
≤m<1
点评:本题主要考查了函数恒成立问题,同时考查了转化的思想和数形结合的思想,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A的坐标为(a,b),点B的坐标为(cosωx,sinωx),其中a2+b2≠0且ω>0.设f(x)=
OA
OB

(1)若a=
3
,b=1,ω=2,求方程f(x)=1在区间[0,2π]内的解集;
(2)若点A是过点(-1,1)且法向量为
n
=(-1,1)
的直线l上的动点.当x∈R时,设函数f(x)的值域为集合M,不等式x2+mx<0的解集为集合P.若P⊆M恒成立,求实数m的最大值;
(3)根据本题条件我们可以知道,函数f(x)的性质取决于变量a、b和ω的值.当x∈R时,试写出一个条件,使得函数f(x)满足“图象关于点(
π
3
,0)
对称,且在x=
π
6
处f(x)取得最小值”.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:几何证明选讲
如图,CP是圆O的切线,P为切点,直线CO交圆O于A,B两点,AD⊥CP,垂足为D.
求证:∠DAP=∠BAP.
B.选修4-2:矩阵与变换
设a>0,b>0,若矩阵A=
.
a0
0b
.
把圆C:x2+y2=1变换为椭圆E:
x2
4
+
y2
3
=1.
(1)求a,b的值;(2)求矩阵A的逆矩阵A-1
C.选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知圆C:ρ=4cosθ被直线l:ρsin(θ-\frac{π}{6})=a截得的弦长为2
3
求实数a的值.
D.选修4-5:不等式选讲已知a,b是正数,求证:a2+4b2+
1
ab
≥4.

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科目:高中数学 来源: 题型:

本题有(I)、(II)、(III)三个选作题,每题7分,请考生任选两题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题记分,作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知a∈R,矩阵P=
02
-10
,Q=
01
a0
,若矩阵PQ对应的变换把直线l1:x-y+4=0变为直线l2:x+y+4=0,求实数a的值.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,求圆C:ρ=2上的点P到直线l:ρ(cosθ+
3
sinθ)=6
的距离的最小值.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知实数x,y满足x2+4y2=a(a>0),且x+y的最大值为5,求实数a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x2+
2
x
+alnx(x>0),
(Ⅰ)若函数y=f(x)的图象在x=1处的切线l在两坐标轴上的截距相等,求a的值;
(Ⅱ)若f(x)在[1,+∞]上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅲ)若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x1,x2总有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)≥f(
x1+x2
2
)成立,则称函数y=f(x)为区间D上的“凹函数”.试证当a≤0时,f(x)为“凹函数”.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•江苏二模)选做题
A.选修4-1:几何证明选讲
如图,自⊙O外一点P作⊙O的切线PC和割线PBA,点C为切点,割线PBA交⊙O于A,B两点,点O在AB上.作CD⊥AB,垂足为点D.
求证:
PC
PA
=
BD
DC

B.选修4-2:矩阵与变换
设a,b∈R,若矩阵A=
a0
-1b
把直线l:y=2x-4变换为直线l′:y=x-12,求a,b的值.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
求椭圆C:
x2
16
+
y2
9
=1上的点P到直线l:3x+4y+18=0的距离的最小值.
D.选修4-5不等式选讲
已知非负实数x,y,z满足x2+y2+z2+x+2y+3z=
13
4
,求x+y+z的最大值.

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