练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（cosωx，sinωx），其中a2+b2≠0且ω＞0．设f(x)=
    OA
    •
    OB
    ．
    （1）若a=
    		3
    ，b=1，ω=2，求方程f（x）=1在区间[0，2π]内的解集；
    （2）若点A是过点（-1，1）且法向量为
    n
    =(-1，1)    的直线l上的动点．当x∈R时，设函数f（x）的值域为集合M，不等式x2+mx＜0的解集为集合P．若P⊆M恒成立，求实数m的最大值；
    （3）根据本题条件我们可以知道，函数f（x）的性质取决于变量a、b和ω的值．当x∈R时，试写出一个条件，使得函数f（x）满足“图象关于点(
    π
    3
    ，0)    对称，且在x=
    π
    6
    处f（x）取得最小值”．
    分析：（1）根据向量数量积的定义表示出函数f（x）的解析式将a=
    		3
    ，b=1，ω=2代入后化简，再令f（x）=1解出x的值即可．
    （2）先写出直线l的方程，得到a与b的关系代入f（x）求出函数f（x）的值域M，解出集合P后令P⊆M恒成立即可．
    （3）根据三角函数的对称性对b分大于0和小于0两种情况进行分析．
    解答：解：（1）由题意f(x)=
    OA
    •
    OB
    =bsinωx+acosωx    ，
    当a=
    		3
    ，b=1，ω=2时，f(x)=sin2x+
    		3
    cos2x=2sin(2x+
    π
    3
    )=1    ，?sin(2x+
    π
    3
    )=
    1
    2
    ，
    则有2x+
    π
    3
    =2kπ+
    π
    6
    或2x+
    π
    3
    =2kπ+
    5π
    6
    ，k∈Z．
    即x=kπ-
    π
    12
    或x=kπ+
    π
    4
    ，k∈Z．
    又因为x∈[0，2π]，故f（x）=1在[0，2π]内的解集为{
    π
    4
    ，
    11π
    12
    ，
    5π
    4
    ，
    23π
    12
    }    ．
    （2）由题意，l的方程为-（x+1）+（y-1）=0?y=x+2．A在该直线上，故b=a+2．
    因此，f(x)=(a+2)sinωx+acosωx=
    		(a+2)2+a2
    sin(ωx+φ)    ，
    所以，f（x）的值域M=[-
    		(a+2)2+a2
    ，
    		(a+2)2+a2
    ]    ．
    又x2+mx=0的解为0和-m，故要使P⊆M恒成立，
    只需-m∈[-
    		(a+2)2+a2
    ，
    		(a+2)2+a2
    ]    ，而
    		(a+2)2+a2
    =
    		2(a+1)2+2
    ≥
    		2

    即-
    		2
    ≤m≤
    		2
    ，所以m的最大值
    		2
    ．
    （3）因为f(x)=
    OA
    •
    OB
    =bsinωx+acosωx=
    		a2+b2
    sin(ωx+φ)    ，
    设周期T=
    2π
    ω
    ．
    由于函数f（x）须满足“图象关于点(
    π
    3
    ，0)    对称，
    且在x=
    π
    6
    处f（x）取得最小值”．
    因此，根据三角函数的图象特征可知，
    π
    3
    -
    π
    6
    =
    T
    4
    +
    n
    2
    •T?
    π
    6
    =
    2π
    ω
    (
    2n+1
    4
    )    ?ω=6n+3，n∈N．
    又因为，形如f(x)=
    		a2+b2
    sin(ωx+φ)    的函数的图象的对称中心都是f（x）的零点，故需满足sin(
    π
    3
    ω+φ)=0    ，
    而当ω=6n+3，n∈N时，
    因为
    π
    3
    (6n+3)+φ=2nπ+π+φ    ，n∈N；
    所以当且仅当φ=kπ，k∈Z时，f（x）的图象关于点(
    π
    3
    ，0)    对称；
    此时，
    sinφ=
    a
    		a2+b2
    =0
    cosφ=
    b
    		a2+b2
    =±1
    ?a=0，
    b
    |b|
    =±1    ．
    （i）当b＞0，a=0时，f（x）=sinωx，进一步要使x=
    π
    6
    处f（x）取得最小值，
    则有f(
    π
    6
    )=sin(
    π
    6
    •ω)=-1    ?
    π
    6
    •ω=2kπ-
    π
    2
    ?ω=12k-3    ，k∈Z；
    又ω＞0，则有ω=12k-3，k∈N*；因此，由
    ω=6n+3，n∈N×
    ω=12k-3，n∈N*
    可得ω=12m+9，m∈N；
    （ii）当b＜0，a=0时，f（x）=-sinωx，进一步要使x=
    π
    6
    处f（x）取得最小值，
    则有f(
    π
    6
    )=-sin(
    π
    6
    •ω)=-1    ?
    π
    6
    •ω=2kπ+
    π
    2
    ?ω=12k+3    ，k∈Z；
    又ω＞0，则有ω=12k+3，k∈N；因此，由
    ω=6n+3，n∈N×
    ω=12k-3，n∈N*
    可得ω=12m+3，m∈N；
    综上，使得函数f（x）满足“图象关于点(
    π
    3
    ，0)    对称，
    且在x=
    π
    6
    处f（x）取得最小值”的充要条件是：
    “当b＞0，a=0时，ω=12m+9（m∈N）或当b＜0，a=0时，ω=12m+3（m∈N）”．
    点评：本题主要考查向量的数量积运算和三角函数的两角和与差的正弦公式的应用．属难题．平时要注意基础知识的掌握遇到难题时方能迎刃而解．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：pcos(θ-
    π3
    )=1    ，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点，则MN的中点P在平面直角坐标系中的坐标为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
    π
    2
    ，
    3π
    2
    )    ，且|
    AC
    |=|
    BC
    |    ．
    （1）求角θ的值；
    （2）设α＞0，0＜β＜
    π
    2
    ，且α+β=
    2
    3
    θ    ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是
     
    （写出所有正确命题的编号）．
    ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
    ②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点
    ③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点
    ④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
    ⑤存在恰经过一个整点的直线．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，下列函数图象关于原点对称的是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，以点（1，0）为圆心，r为半径作圆，依次与抛物线y2=x交于A、B、C、D四点，若AC与BD的交点F恰好为抛物线的焦点，则r=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案