(14分)设函数.
(1)当时,求的极值;
(2)当时,求的单调区间;
(3)若对任意及,恒有成立,求的取值范围
(Ⅰ)的极小值为,无极大值 .
(Ⅱ)当时,的递减区间为;递增区间为.
当时,在单调递减.
当时,的递减区间为;递增区间为.
(Ⅲ) .
解析试题分析:(1)将a=0代入函数解析式中可知,函数的导数,然后运用导数的符号与单调性的关系求解单调区间,并得到极值。
(2)当a>0时,利用导函数,对于参数a,进而分类讨论研究其单调性,看开口和判别式得到。
(3)要证明不等式恒成立,只要利用第二问的结论根据最大值和最小值得到求解。
解:(Ⅰ)依题意,知的定义域为.
当时, ,.
令,解得.
当时,;当时, .
又,
所以的极小值为,无极大值 . …………………………(4分)
(Ⅱ)
当时,,
令,得或,
令,得;
当时,得,
令,得或,
令,得;
当时,.
综上所述,当时,的递减区间为;递增区间为.
当时,在单调递减.
当时,的递减区间为;递增区间为.
…………………………………(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当时,在单调递减.
当时,取最大值;当时,取最小值.
所以
.………………(11分)
因为恒成立,
所以,
整理得.
又 所以,
又因为 ,得,
所以
所以 . ……………………………………………………………(14分)
考点:本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。
点评:解决该试题的关键是对于含有参数的导数的符号的确定,需要分类讨论思想来得到。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,有一边长为2米的正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分),边缘线是以直线为对称轴,以线段的中点为顶点的抛物线的一部分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部分成为一个直角梯形.
(Ⅰ)请建立适当的直角坐标系,求阴影部分的边缘线的方程;
(Ⅱ)如何画出切割路径,使得剩余部分即直角梯形的面积最大?
并求其最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知函数在上是增函数,在上是减函数.
(1)求函数的解析式;
(2)若时,恒成立,求实数的取值范围;
(3)是否存在实数,使得方程在区间上恰有两个相异实数根,若存在,求出的范围,若不存在说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本大题12分)
已知函数函数的图象与的图象关于直线对称,.
(Ⅰ)当时,若对均有成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)设的图象与的图象和的图象均相切,切点分别为和,其中.
(1)求证:;
(2)若当时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
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