Question

【题目】设常数.在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线l：，曲线Γ：（，）.l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.

（1）用t表示点B到点F的距离；

（2）设，，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；

（3）设，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；

方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|；

（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得△AQP的面积；

（3）设P及E点坐标，根据直线kPFkFQ＝﹣1，求得直线QF的方程，求得Q点坐标，根据，求得E点坐标，则（）2＝8（6），即可求得P点坐标．

（1）方法一：由题意可知：设，

则，；

方法二：由题意可知：设，

由抛物线的性质可知：，；

（2），，，则，

，，设OQ的中点D，，

，则直线PF方程：，

联立，整理得：，解得：，（舍去），

△AQP的面积；

（3）存在，设，，则，，

直线QF方程为，

，，

根据，则，

，解得：，

存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且.