【题目】已知函数.
(1)当,求的单调区间;
(2)若有两个零点,求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)将a=1代入函数,再求导即可得单调区间;(2)法一:先对函数求导:当时,在上是减函数,在上是增函数,且x=1为的极值点,当 所以,,当,所以此时有两个零点;当时,函数只有一个零点;当时,再分成三种情况, ,三种情况进行讨论,最后取并集即得a的范围。法二:分离参变量,每一个a对应两个x,根据新构造的函数单调性和值域,找到相应满足条件的a的范围即可。
(1) 当
令,可得,
当时,,函数在区间上单调递减,
当时,,函数在区间上单调递增。
所以函数减区间在区间,增区间
(2) 法一:函数定义域为,,
则
⑴当时,令可得,
当时,,函数在区间上单调递减,
当时,,函数在区间上单调递增。
且,当;当 所以
所以有两个零点.,符合
⑵当,只有一个零点2,所以舍
⑶设,由得或,
①若,则,所以在单调递增,所以零点至多一个.(舍)
②若,则,故时,,当时,,所以在,单调递增,在单调递减。又,要想函数有两个零点,必须有,其中.
又因为当时,,所以
故只有一个零点,舍
③若,则,故时,,;当时,,所以在,单调递增,在单调递减。又极大值点,所以只有一个零点在(舍)
综上,的取值范围为。
法二:
,所以不是零点.
由,变形可得.
令,则,
即.
当,;当,.
所以在递增;在递减.
当时,,当时,.所以当时,值域为.
当时,,当时,.所以当时,值域为.
因为有两个零点,故的取值范围是
故的取值范围是.
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【题目】已知椭:()过点,且椭圆的离心率为.过椭圆左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求线段的垂直平分线的方程;
(3)求三角形的面积.(为坐标原点)
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【题目】已知函数(,,为常数),当时,只有一个实根;当时,只有3个相异实根,现给出下列4个命题:
①和有一个相同的实根;
②和有一个相同的实根;
③的任一实根大于的任一实根;
④的任一实根小于的任一实根.
其中真命题的序号是______.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.
(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(2)若是曲线上的动点,为线段的中点,求点到直线的距离的最大值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程;
(2)若直线的极坐标方程为,直线与轴的交点为,与曲线相交于两点,求的值.
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【题目】在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为(t为参数),l与C分别交于M,N.
(1)写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.
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【题目】(1)集合,或,对于任意,定义,对任意,定义,记为集合的元素个数,求的值;
(2)在等差数列和等比数列中,,,是否存在正整数,使得数列的所有项都在数列中,若存在,求出所有的,若不存在,说明理由;
(3)已知当时,有,根据此信息,若对任意,都有,求的值.
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