Question

【题目】已知抛物线的焦点为，若过点且斜率为1的直线与抛物线交于 两点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）若平行于的直线与抛物线相切于点，求的面积.

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

(1)设出AB两点坐标,根据抛物线性质将AB长度转化为AB横坐标的关系式.

设出直线AB方程,联立抛物线方程,根据韦达定理得到横坐标和的关系,计算可得答案.

(2)设出直线方程,联立抛物线方程,由于相切,得到P点坐标.计算得到面积

解：（1）因为过焦点，所以，抛物线的准线方程为，

设点坐标分别是，，

则，

设直线方程为，代入抛物线方程得，

即，则，，所以，

抛物线方程为；

（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，

消去得：（*），

由直线与抛物线相切得，且，

所以，代入方程（*）得，

所以切点的坐标为，而直线的方程为，

点到直线的距离，

所以的面积.