【题目】(1)集合,
或
,对于任意
,定义
,对任意
,定义
,记
为集合
的元素个数,求
的值;
(2)在等差数列和等比数列
中,
,
,是否存在正整数
,使得数列
的所有项都在数列
中,若存在,求出所有的
,若不存在,说明理由;
(3)已知当时,有
,根据此信息,若对任意
,都有
,求
的值.
【答案】(1),
;(2)
为正偶数;(3)
;
【解析】
(1)由题意得:集合表示方程
解的集合,由于
或
,即可得到集合
的元素个数
;利用倒序相加法及
,即可得到答案;
(2)假设存在,对
分奇数和偶数两种情况进行讨论;
(3)利用类比推理和分类计数原理可得的值.
(1)由题意得:集合表示方程
解的集合,
由于或
,所以方程
中有
个
,
个
,
从而可得到解的情况共有个,
所以.
令,
所以,
所以,
所以,即
.
(2)当取偶数
时,
中所有项都是
中的项.
由题意:均在数列
中,当
时,
,
说明数列的第
项是数列
中的第
项.
当取奇数
时,因为
不是整数,所以数列
的所有项都不在数列
中.
综上所述:为正偶数.
(3)当时,有
①
当时,
②
又对任意,都有
③
所以即为
的系数,
可取①中、②中的1;或①中
、②中的
;或①中
、②中的
;
或①中的、②中的
;
所以.
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【题目】已知,函数
且
.
(1)求p,q的值以及函数的表达式,并写出
的定义域D;
(2)设函数,A=
,集合
,当
时,求实数k的取值范围;
(3)当时,设
,数列
的前n项和为
,直线
的斜率为
,是否存在实数
,使
对一切
恒成立,若存在,分别求出实数
的取值范围,若不存在,说明理由.
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【题目】如图,P是圆x2+y2=4上的动点,P点在x轴上的射影是D,点M满足.
(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程
(Ⅱ)设A、B是轨迹C上的不同两点,点E(﹣4,0),且满足,若λ∈[
,1),求直线AB的斜率k的取值范围.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
曲线
的极坐标方程为
,
与
交于点
.
(1)写出曲线的普通方程及直线
的直角坐标方程,并求
;
(2)设为曲线
上的动点,求
面积的最大值.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为
(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
,直线
与曲线C交于
两点.
(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)求.
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【题目】如图,已知四面体中,
,且
两两互相垂直,点
是
的中心.
(1)求二面角的大小(用反三角函数表示);
(2)过作
,垂足为
,求
绕直线
旋转一周所形成的几何体的体积;
(3)将绕直线
旋转一周,则在旋转过程中,直线
与直线
所成角记为
,求
的取值范围.
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【题目】已知椭圆:
过点
,且它的焦距是短轴长的
倍.
(1)求椭圆的方程.
(2)若,
是椭圆
上的两个动点(
,
两点不关于
轴对称),
为坐标原点,
,
的斜率分别为
,
,问是否存在非零常数
,使当
时,
的面积
为定值?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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