【题目】如图，在直三棱柱
中，
，
，
是
的中点，
是
的中点.
（1）求异面直线
与
所成角的大小；
（2）若直三棱柱的体积为
，求四棱锥
的体积.
【答案】（1）
；（2）
；
【解析】
（1）以
为坐标原点，以
，
，
为
，
，
轴正方向建立空间直角坐标系，分别求出异面直线
与
的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出异面直线与所成角的大小；
（2）连接
．由
，由已知中，
是
的中点，
面
，我们根据等腰三角形“三线合一”的性质及线面垂直的性质，即可得到
，
，进而根据线面垂直的判定定理，得到
面
，故即为四棱锥
的高，求出棱锥的底面面积，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
（1）以为坐标原点，以，，为
轴正方向建立空间直角坐标系．不妨设
．
依题意，可得点的坐标
，
于是
，由
，
则异面直线与所成角的大小为．
（2）连接．由，是的中点，得；
由面，
面，得．
又
，因此面，
由直三棱柱
的体积为
．可得
．
所以，四棱锥的体积为
．
智能训练练测考系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】正方形
的边长为1，点
在边
上，点
在边
上，
．动点
从出发沿直线向运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第一次碰到时，与正方形的边碰撞的次数为( )
A. 4B. 3C. 8D. 6
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【题目】已知动点P与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的轨迹方程
（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为（4，0），求△ABM面积的最大值．
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【题目】汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有（ ）
A. 12种B. 22种C. 28种D. 30种
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【题目】设数列
的前n项和为
,对一切
,点
都在函数
的图像上.
（1）证明：当
时,
;
（2）求数列的通项公式;
（3）设
为数列
的前n项的积,若不等式
对一切成立,求实数a的取值范围.
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【题目】（1）集合
，
或
，对于任意
，定义
，对任意
，定义
，记
为集合
的元素个数，求
的值；
（2）在等差数列
和等比数列
中，
，
，是否存在正整数
，使得数列的所有项都在数列中，若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（3）已知当
时，有
，根据此信息，若对任意，都有
，求
的值.
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【题目】已知
为圆
上一动点，圆心
关于
轴的对称点为
，点
分别是线段
上的点，且
.
（1）求点
的轨迹方程；
（2）直线
与点的轨迹
只有一个公共点
，且点在第二象限，过坐标原点
且与
垂直的直线
与圆
相交于
两点，求
面积的取值范围.
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【题目】如图，M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交线段AB、AC于点P、Q两点，设
，
，记
.
（1）求
的值；
（2）求函数的解析式（指明定义域）；
（3）设
，
，若对任意
，总存在
，使得
成立，求实数a的取值范围.
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【题目】为响应市政府提出的以新旧动能转换为主题的发展战略，某公司花费100万元成本购买了1套新设备用于扩大生产，预计该设备每年收入100万元，第一年该设备的各种消耗成本为8万元，且从第二年开始每年比上一年消耗成本增加8万元．
（1）求该设备使用x年的总利润y（万元）与使用年数x（x∈N*）的函数关系式（总利润＝总收入﹣总成本）；
（2）这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？并求出年平均利润的最大值．
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