Question

已知函数f（x）=2cos²x+

3

sin2x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数h（x）的图象，再将函数h（x）的图象向右平移

π

3

个单位后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式，并求在[0，π]上的值域．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+θ）化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间即可．
（Ⅱ）求出函数横坐标伸长为原来的2倍得函数的解析式，再把所得函数的图象向右平移

π

3

个单位后得到函数g（x）的图象，写出解析式，然后求解定义域是的函数的值域．

解答： 解：（Ⅰ）y=2cos²x+

3

sin2x
=1+cos2x+

3

sin2x
=1+2（

1

2

cos2x+

3

2

sin2x）
=1+2sin（2x+

π

6

），
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

k∈Z，
∴函数的单调增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（Ⅱ）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数h（x）=1+2sin（x+

π

6

）的图象，再将函数h（x）的图象向右平移

π

3

个单位后得到函数g（x）=1+2sin（x-

π

3

+

π

6

）=1+2sin（x-

π

6

）的图象，
∴函数g（x）的解析式，g（x）=1+2sin（x-

π

6

）．
∵x∈[0，π]，x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，当x-

π

6

=-

π

6

时函数取得最小值：1+2×(-

1

2

)=0，
当x-

π

6

=

π

2

时函数取得最大值：1+2=3，
∴g（x）∈[0，3]，
即函数g（x）在[0，π]上的值域[0，3]．

点评：本题考查三角函数的化简，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握y=Asin（ωx+φ）的图象变换中振幅变换、平移变换及周期变换的法则及方法是解答本题的关键．注意基本函数的基本性质，是解好题目的前提．