Question

函数f（x）=

n

|x|+m

（m＜0，n＞0）图象与中国汉字“囧”字相似，因此我们把函数f（x）称之为“囧函数”．当m=-1，n=1时，请同学们研究如下命题：
①函数f（x）的定义域是：（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）；
②函数f（x）的对称中心是（-1，0）和（1，0）；
③函数f（x）在（-1，1）上单调；
④函数f（x）的值域是：（-∞，-1]∪（0，+∞）；
⑤方程f（x）-x=b有三个不同的实数根，则b＜-1或b＞3；
其中正确命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：当m=-1，n=1时，f（x）=

n

|x|+m

=

1

|x|-1

=

1 x-1 ，x≥0且x≠1 - 1 x+1 ，x＜0且x≠-1

，作出该函数的图象，对①②③④⑤五个选项逐一判断即可．

解答： 解：当m=-1，n=1时，f（x）=

n

|x|+m

=

1

|x|-1

=

1 x-1 ，x≥0且x≠1 - 1 x+1 ，x＜0且x≠-1

，
对于①，由函数的解析式可知，函数f（x）的定义域是：（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞），故①正确；
对于②，由图可知，f（x）的对称中心不是（-1，0）和（1，0）故②错误；
对于③，由图可知，函数f（x）在（-1，1）上不单调，故③错误；
对于④，由图可知，函数f（x）的值域是：（-∞，-1]∪（0，+∞），故④正确；
对于⑤，当-1＜x≤0时，f（x）=-

1

x+1

，设直线y=x+b与f（x）=-

1

x+1

（-1＜x≤0）的切点为P（x₀，y₀），
∵f′（x）=

1

(x+1)2

，∴k=f′（x₀）=

1

(x0+1)2

=1，解得x₀=0或x₀=-2（舍去），∴y₀=-

1

x0+1

=-1，
即切点为P（0，-1），又该点在直线y=x+b上，故b=-1，b为直线y=x+b在y轴上的截距，
∴当b＜-1时，直线y=x+b与f（x）=

1

|x|-1

有三个交点，即方程f（x）-x=b有三个不同的实数根；
当x＜-1时，f（x）=-

1

x+1

，同理可得，直线y=x+b与f（x）=-

1

x+1

（x＜-1）的切点为P（-2，1），该点在直线y=x+b上，故b=3，
∴当b＞3时，直线y=x+b与f（x）=-

1

x+1

（x＜-1）相交，有两个交点，与f（x）=

1

x-1

（x＞0）有一个交点，
当b＞3时，直线y=x+b与f（x）=

1

|x|-1

有三个交点，即方程f（x）-x=b有三个不同的实数根；
综上所述，方程f（x）-x=b有三个不同的实数根，则b＜-1或b＞3，故⑤正确；
综上述，①④⑤正确，
故答案为：①④⑤．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查“囧函数”的定义域、值域、单调性、对称性及函数的零点，作图是关键，属于难题．