Question

14．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₇=$\frac{1}{64}$，a₂=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及前n项和为S_n；
（Ⅱ）若b_n=log₂（2-S_n），数列{b_n}的前n项和为T_n，求数列$\left\{{\frac{1}{T_n}}\right\}$（n≥2）的前n项．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出数列的公比与首项，然后求解通项公式以及S_n；
（Ⅱ）求出b_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，化简数列$\left\{{\frac{1}{T_n}}\right\}$，利用裂项法求和即可．

解答 （本题满分10分）
解：（Ⅰ）等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₇=$\frac{1}{64}$，a₂=$\frac{1}{2}$．
${a_7}={a_2}{q^5}$，$q=\frac{1}{2}$，${a_n}={a_2}{q^{n-2}}={（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，a₁=1，
∴${S_n}={\frac{{1-（{\frac{1}{2}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}^n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$
（Ⅱ）因为${S_n}={\frac{{1-（{\frac{1}{2}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}^n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，b_n=log₂（2-S_n），
所以${b}_{n}=lo{g}_{2}（2-2+\frac{1}{{2}^{n-1}}）=1-n$，
则${T_n}=\frac{{-{n^2}+n}}{2}$，
$\frac{1}{T_n}=-\frac{2}{n（n-1）}=-2（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）$，
${P_n}=-2（{（{\frac{1}{1}-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）}）=-2\frac{n-1}{n}$．

点评 本题考查数列求和，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．