Question

【题目】设点P是直线上一点，过点P分别作抛物线的两条切线，其中A、B为切点.

（1）若点A的坐标为，求点P的横坐标；

（2）当的面积为时，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由导数的几何意义，可先求直线切线的斜率，由点斜式写出直线方程，再由点纵坐标为-2代入直线方程即可求解；

（2）设，分别表示出直线的方程为，同理得，由两直线均过得，可推出直线方程为，联立抛物线方程解出关于的一元二次方程，结合弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形面积公式为，即可求解，进而求解弦长；还可设，将两点纵坐标结合抛物线代换，表示出直线的方程为，同理直线的方程为，联立解得，故，设直线的方程为，联立，推出参数，后续求解步骤同前一种解法

（1）由，所以，

因为，

由导数的几何意义知，切线的斜率，

所以切线的方程为，即，

又因为点P为直线与直线的公共点，

联立与，可得P点横坐标为.

（2）法一：不妨设，

由（1）可知，即直线的方程为，

即，同理可得

因为切线均过点，所以，

所以为方程的两组解，

所以直线的方程为，即

联立，可得，显然，

由韦达定理得，，

所以，

又因为点P到直线的距离，

所以，

解得，所以.

法二：不妨设，由（1）可知直线的方程为，

同理，直线的方程为，

联立解得，

又点P在直线，所以，

设直线的方程为，联立，可得，

由韦达定理得，

可得，

所以，

又因为点P到直线的距离为，

所以，

解得，所以.