Question

6．设P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上任一点，F₁，F₂为椭圆的左右焦点，短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形．
（I）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）直线l：y=kx+$\frac{b}{2}$与圆：x²+y²=$\frac{{b}^{2}}{5}$相切，且与椭圆交于P、Q两点，当△OPQ的面积等于$\sqrt{7}$，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 （I）根据等边三角形可得a=2b，再利用a，b，c的关系得出a与c的关系，从而得出离心率；
（II）利用直线与圆相切列方程计算k，得出直线L的方程，与椭圆方程联立方程组消元，利用根与系数的关系计算|PQ|，得出三角形OPQ的面积，根据面积解出a，b即可．

解答 解：（I）∵短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，
∴a=2b，即b=$\frac{a}{2}$，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（II）∵直线L：y=kx+$\frac{b}{2}$与圆：x²+y²=$\frac{{b}^{2}}{5}$相切，
∴$\frac{\frac{b}{2}}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{b}{\sqrt{5}}$，解得k=$±\frac{1}{2}$．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
（1）若k=$\frac{1}{2}$，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{b}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{a=2b}\end{array}\right.$，消元得：2x²+2bx-3b²=0，
△=4b²+24b²=28b²＞0，
∴x₁+x₂=-b，x₁x₂=-$\frac{3}{2}{b}^{2}$，
∴|PQ|=（1+$\frac{1}{4}$）$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{5\sqrt{7}}{4}b$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}×\frac{5\sqrt{7}}{4}b×\frac{b}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{7}$，解得b²=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴a²=4b²=$\frac{32\sqrt{5}}{5}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{32\sqrt{5}}{5}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{8\sqrt{5}}{5}}=1$．
（2）若k=-$\frac{1}{2}$，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{b}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{a=2b}\end{array}\right.$，消元得：2x²-2bx-3b²=0，
△=4b²+24b²=28b²＞0，
∴x₁+x₂=b，x₁x₂=-$\frac{3}{2}{b}^{2}$，
以下解法同（1），
综上，椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{32\sqrt{5}}{5}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{8\sqrt{5}}{5}}=1$．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．