Question

17．已知圆C经过两个点A（2，-3）和B（-2，-5），且圆心在直线x-2y-3=0上．
（1）求此圆C的方程；
（2）直线l：x+my+m+2=0（m为常数）与圆C相交于M，N，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）设圆C的圆心坐标为C（2a+3，a），再由圆C经过A（2，-3）和B（-2，-5）两点，可得|CA|²=|CB|²，即（2a+1）²+（a+3）²=（2a+5）²+（a+5）²，求得a的值，即可求得圆心坐标和半径，从而求得圆C的方程．
（2）直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，CA的斜率为0，l∥y，可得直线l被圆C截得的弦长的最小值．

解答 解：（1）由于圆心在直线x-2y-3=0上，故可设圆C的圆心坐标为C（2a+3，a），
再由圆C经过A（2，-3）和B（-2，-5）两点，
可得|CA|=|CB|，∴|CA|²=|CB|²，
∴（2a+1）²+（a+3）²=（2a+5）²+（a+5）²．
解得a=-2，故圆心C（-1，-2），半径r=$\sqrt{10}$，
故圆C的方程为 （x+1）²+（y+2）²=10；
（2）直线l可化为m（y+1）+（x+2）=0
令 $\left\{\begin{array}{l}{y+1=0}\\{x+2=0}\end{array}\right.$，解得x=-2，y=-1，∴直线l恒过定点D（-2，-1），
∵|CD|²=2＜10，故D在圆的内部，
∴不论m为何值时，直线l和圆C恒有两个交点；
直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CD⊥l，
∵圆C：（x+1）²+（y+2）²=10，圆心C（-1，-2），半径为$\sqrt{10}$，
CD=$\sqrt{2}$，
∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2$\sqrt{10-2}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，考查直线恒过定点，考查弦长的计算，解题的关键是掌握圆的特殊性，是一道中档题．