Question

2．数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+c•2ⁿ（c是常数，n=1，2，3…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由递推式表示出a₂，a₃，由a₁，a₂，a₃成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验；
（Ⅱ）利用累加法可求得a_n，注意检验n=1时是否满足a_n；

解答 解：（Ⅰ）a₁=2，a₂=2+2c，a₃=2+6c，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，
∴（2+2c）²=2（2+6c），
解得c=0或c=1．
当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，故c=1．
（ 2）∵a_n+1=a_n+2ⁿ，
∴a₂=a₁+2¹，
a₃=a₂+2²，
a₄=a₃+2³，
…，
a_n=a_n-1+2^n-1，
累加可得a_n=a₁+2+2¹+2²+…+2^n-1=2+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$=2ⁿ，
当n=1时，也满足，
故{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ，（n∈N*）

点评 本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题．