Question

7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，若实数a满足f（log₂$\frac{1}{a}$）＜f（-$\frac{1}{2}$），则a的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可．

解答 解：∵偶函数f（x）是[0，+∞）上单调递减，满足不等式f（log₂$\frac{1}{a}$）＜f（-$\frac{1}{2}$），
∴不等式等价为f（|log₂$\frac{1}{a}$|）＜f（$\frac{1}{2}$），
即|log₂$\frac{1}{a}$|＞$\frac{1}{2}$，
即log₂$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{2}$或log₂$\frac{1}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
即0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$或a＞$\sqrt{2}$，
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键．