Question

17．在数列{a_n}中，已知a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，则a₁²+a₂²+…+a_n²=$\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）．

Answer 1

分析 由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，求出${a}_{n}={2}^{n-1}$，由此能求出${{a}_{n}}^{2}={4}^{n-1}$，从而利用等差数列前n项和公式能求出a₁²+a₂²+…+a_n²的值．

解答 解：∵在数列{a_n}中，S_n=a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ-1，
∴a₁=2-1=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1，
当n=1时，上式成立，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$，∴${{a}_{n}}^{2}={4}^{n-1}$，
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=1+4+4²+…+4^n-1=$\frac{1×（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
故答案为：$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．

点评 本题考查等比数列前n项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．