Question

18．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{{41\sqrt{41}}}{48}π$
• B． $\frac{41}{4}π$
• C． 4π
• D． $\frac{4π}{3}$

Answer 1

分析 由三视图知该几何体为四棱锥侧面为左视图，PE⊥平面ABC，E、F分别是对应边的中点，底面ABCD是边长是2的正方形，设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，则h²+2=1+（2-h）²，求出h，并求出球的半径，利用球的表面积公式求解．

解答 解：由三视图知该几何体为四棱锥侧面为左视图，
PE⊥平面ABC，E、F分别是对应边的中点，
底面ABCD是边长是2的正方形，
设外接球的球心到平面ABCD的距离为h，
则h²+2=1+（2-h）²，
∴h=$\frac{3}{4}$，R²=$\frac{41}{16}$，
∴几何体的外接球的表面积S=4πR²=$\frac{41}{4}$π，
故选B．

点评 本题考查三视图求几何体外接球的表面积，由三视图正确复原几何体以及正确确定外接球球心的位置是解题的关键，考查空间想象能力．