Question

10．心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30名女20名），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如表：（单位：人）

	几何题	代数题	总计
男同学	22	8	30
女同学	8	12	20
总计	30	20	50

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两名女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附表及公式

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

${k^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）由表中数据计算K²的观测值，比较临界值得出统计结论；
（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x，y分钟，
根据几何概型计算公式求出对应面积比即可；
（3）由题意得出X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列与数学期望．

解答 解：（1）由表中数据得K²的观测值为
${K^2}=\frac{{50×{{（22×12-8×8）}^2}}}{30×20×30×20}=\frac{50}{9}≈5.556＞5.024$，
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；
（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x，y分钟，
则基本事件满足的区域为$\left\{\begin{array}{l}5≤x≤7\\ 6≤y≤8\end{array}\right.$（如图所示）；
设事件A为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为x＞y，
∴由几何概型计算$P（A）=\frac{{\frac{1}{2}×1×1}}{2×2}=\frac{1}{8}$，
即乙比甲先解答完的概率为$\frac{1}{8}$；
（3）由题可知，从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，
抽取方法有$C_8^2=28$种，
其中甲、乙两人没有一个人被抽到有$C_6^2=15$种；
恰有一人被抽到有$C_2^1•C_6^1=12$种；
两人都被抽到有$C_2^2=1$种；
∴X可能取值为$0，1，2，P（X=0）=\frac{15}{28}$，
$P（X=1）=\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$，$P（X=2）=\frac{1}{28}$；
X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{15}{28}$	$\frac{12}{28}$	$\frac{1}{28}$

∴X的数学期望为$E（X）=0×\frac{15}{28}+1×\frac{12}{28}+2×\frac{1}{28}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了独立性检验与几何概型的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与与数学期望的计算问题，是综合题．