精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
的顶点为A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,,|A1B1|=
7
,S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线,且|
OP
|=1
,是否存在上述直线l使
AP
PB
=1成立?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)由|A1B1|=
7
知a2+b2=7,①
由S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2 知a=2c,②
又b2=a2-c2
由①②③解得a2=4,b2=3,
故椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2
若l垂直于x轴时,p点即是右焦点(1,0),此时不满足
AP
PB
=1
,直线l的方程不存在.
若l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m,
由l与n垂直相交于P点且|
OP
|=1
|m|
1+k2
=1
,即m2=k2+1 ④
AP
PB
=1
|
OP
|=1
,得知OA⊥OB所以x1x2+y1y2=0,
x2
4
+
y2
3
=1
y=kx+m
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
x1x2=
4m2-12
3+4k2
x1+x2=
-8km
3+4k2

又y1•y2=(kx1+m)(kx2+m)=
3m2-12k2
3+4k2
,代入x1x2+y1y2=0中得7m2-12k2-12=0.⑤
由④⑤可知无解.所以此时l不存在.
故不存在直线方程使
AP
PB
=1
成立.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=
1
2

(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,⊙O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)为两定点,l是⊙O的一条动切线,若过A,B两点的抛物线以直线l为准线,则抛物线焦点所在的轨迹是(  )
A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

过点(0,1)引直线与双曲线x2-y2=1只有一个公共点,这样的直线共有(  )
A.1条B.2条C.3条D.4条

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过Q点的直线l与抛物线有公共点,求直线l的斜率的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知直线L过点P(2,0),斜率为
4
3
,直线L和抛物线y2
=2x相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求:
(1)P,M两点间的距离/PM/:(2)M点的坐标;(3)线段AB的长.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆的一个焦点为(
2
,0)
,且长轴长为短轴长的
3
倍.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的下顶点为A,且椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M,N.当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆焦距为2,离心率为
1
2

(1)求椭圆的标准方程
(2)若直线l过点(1,2)且倾斜角为45°且与椭圆相交于A,B两点,求弦长|AB|.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),O是坐标原点,C的右顶点和上顶点分别为A、B,且△AOB的面积为
5

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点P(4,0)作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N,交y轴于Q点,证明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
为定值,并求这个定值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案