Question

10．已知命题p：方程$\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{m-1}=1$表示焦点在x轴上的双曲线，命题q：关于x的方程x²+2mx+2m+3=0无实根，
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p为真命题，则$\left\{\begin{array}{l}m+1＞0\\ m-1＜0\end{array}\right.$，解得实数m的取值范围；
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则命题p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵方程$\frac{x^2}{m+1}+\frac{y^2}{m-1}=1$表示焦点在x轴上的双曲线，
∴$\left\{\begin{array}{l}m+1＞0\\ m-1＜0\end{array}\right.$，
 即-1＜m＜1，…（4分）
∴若命题p为真命题，则实数m的取值范围是（-1，1）…（5分）
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
则p，q为一个真命题，一个假命题，…（7分）
若关于x的方程x²+2mx+2m+3=0无实根，
则判别式△=4m²-4（2m+3）＜0，…（8分）
即m²-2m-3＜0，得-1＜m＜3．…（9分）
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜1\\ m≤-1，或m≥3\end{array}\right.$，此时无解，…（10分）
柔p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}-1＜m＜3\\ m≤-1，或m≥1\end{array}\right.$，得1≤m＜3，…（11分）
综上，实数m的取值范围是[1，3）…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了双曲线的标准方程，方程根的存在性及个数判断，难度中档．