Question

19．在如图所示的几何体中，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且$AB=BD=\frac{1}{2}CD=2$，∠BDC=60°，E是C₁D的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BB₁D；
（Ⅱ）当AE与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{1}{2}$时，求该几何体的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中点G，连接EG、AG，则EG∥CC₁∥BB₁，可得EG∥平面BDB₁，再由AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}CD$，可得四边形ABDG为平行四边形，则AG∥BD，从而AG∥平面BDB₁，由面面平行的判定可得平面AEG∥平面BDB₁，
则AE∥平面BB₁D；
（Ⅱ）由已知求得直三棱柱的高，然后由直三棱柱的体积与三棱锥B₁-BCD的体积作和求得几何体的体积．

解答 （Ⅰ）证明：取CD中点G，连接EG、AG，
则EG∥CC₁∥BB₁，∴EG∥平面BDB₁，
∵AB∥CD，AB=$\frac{1}{2}CD$，∴四边形ABDG为平行四边形，则AG∥BD．
∴AG∥平面BDB₁，
又AG∩GE=G，∴平面AEG∥平面BDB₁，
则AE∥平面BB₁D；
（Ⅱ）解：在平面ABCD内，过B作BM⊥CD，垂足为M，
在Rt△BMD中，∵BD=2，∠BDC=60°，∴DM=1，BM=$\sqrt{3}$．
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×AB×BM=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
${S}_{△BCD}=\frac{1}{2}×CD×BM=\frac{1}{2}×4×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$．
∵AE与平面ABCD所成角的正切值为$\frac{1}{2}$，∴tan∠EAG=$\frac{1}{2}$，
又AG=BD=2，∴EG=1，则CC₁=2．
∴几何体的体积V=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}+{V}_{{B}_{1}-BCD}$=$\sqrt{3}×2+\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2=\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查面面平行的判定及性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，属中档题．