Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：2

2

x-y+3+8

2

=0和圆C₁：x²+y²+8x+F=0．若直线l被圆C₁截得的弦长为2

3

．
（1）求圆C₁的方程；
（2）设圆C₁和x轴相交于A、B两点，点P为圆C₁上不同于A、B的任意一点，直线PA、PB交y轴于M、N点．当点P变化时，以MN为直径的圆C₂是否经过圆C₁内一定点？请证明你的结论；
（3）若△RST的顶点R在直线x=-1上，S、T在圆C₁上，且直线RS过圆心C₁，∠SRT=30°，求点R的纵坐标的范围．

Answer 1

（1）圆C₁：（x+4）²+y²=16-F，
则圆心（-4，0）到直线2

2

x-y+3+8

2

=0的距离d=

|-8 2 +3+8 2 |

3

根据垂径定理及勾股定理得：(

2 3

2

)2+（

-8 2 +3+8 2

3

）²=16-F，F=12
∴圆C₁的方程为（x+4）²+y²=4；
（2）令圆的方程（x+4）²+y²=4中y=0得到：x=-6，x=-2，则A（-6，0），B（-2，0）
设P（x₀，y₀）（y₀≠0），则（x₀+4）²+y₀²=4，得到（x₀+4）²-4=-y₀²①
∴k_PA=

y0

x0+6

则l_PA：y=

y0

x0+6

（x+6），M（0，

6y0

x0+6

）
∴则l_PB：y=

y0

x0+2

（x+2），N（0，

2y0

x0+2

）
圆C₂的方程为x²+（y-

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）²=（

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）²
完全平方式展开并合并得：x²+y²-2（

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）y+

12y02

(x0+4)2-4

=0
将①代入化简得x²+y²-2（

6y0 x0+6 - 2y0 x0+2

2

）y=0，
令y=0，得x=±2

3

，
又点Q（-2

3

，0），
由Q到圆C₁的圆心（-4，0）的距离d=

(4-2 3 )2+0

=4-2

3

＜2，则点Q在圆C₁内，
所以当点P变化时，以MN为直径的圆C₂经过圆C₁内一定点（-2

3

，0）；
（3）设R（-1，t），作C₁F⊥RT于H，设C₁H=d，
由于∠C₁RH=30°，∴RC₁=2d，
由题得d≤2，
∴RC₁≤4，即

9+t2

≤4，∴-

7

≤t≤

7

，
∴点A的纵坐标的范围为[-

7

，

7

]