试题分析:(Ⅰ)证明:
,在立体几何中,证明线线垂直,往往转化为证明线面垂直,从而得线线垂直,本题可利用线面垂直的判定定理,可先证明
平面
,即证
垂直平面
内的两条相交直线即可,由题意
平面
,即
,在平面
内再找一条垂线即可,由已知
,,由余弦定理求出
,从而可得
,即
,从而可证
,即得
平面
;然后利用线面垂直的性质可得
;(Ⅱ)求二面角
的余弦值,可建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角的大小,本题由(Ⅰ)可知
,故以以
为坐标原点,分别以
为
轴建立空间直角坐标系,设出两个半平面的法向量,利用法向量的性质,求出两个半平面的法向量,利用法向量来求平面
与平面
的夹角的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)由余弦定理得BD=
=
∴BD
2+AB
2=AD
2,∴∠ABD=90°,BD⊥AB,∵AB∥DC, ∴BD⊥DC
∵PD⊥底面ABCD,BDÌ底面ABCD,∴BD⊥PD
又∵PD∩DC=D, ∴BD⊥平面PDC,又∵PCÌ平面PDC, ∴BD⊥PC (6分)
(Ⅱ)已知AB=1,AD=CD=2,PD=
,
由(Ⅰ)可知BD⊥平面PDC.
如图,以D为坐标原点,射线DB为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz,则
D(0,0,0),B(
,0,0),C(0,2,0),P(0,0,
),M(0,1,
).
=(
,0,0),
=(0,1,
),
=(0,-2,
),
=(
,-2,0) (7分)
设平面BDM的法向量
=(x,y,z),则
x=0,y+
z=0,令z=
, ∴取
=(0,-1,
) (8分)
同理设平面BPM的法向量为
=(a,b,c),则
∴
=(
,1,
) (10分)
∴cos<
,
> =
=-
(11分)
∴二面角D-BM-P的余弦值大小为
. (12分)