Question

已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f(x)=x³-x²+ax．
(1)当a=2时，求f(x)的极小值；
(2)若函数g(x)=x³+bx²-(2b+4)x+lnx(b∈R)的极小值点与f(x)的极小值点相同。求证：g(x)的极大值小于等于．

Answer 1

解：（1）当a=2时，f′(x)=x²-3x+2=(x-1)(x-2)，
列表如下：

所以，f(x)的极小值为f(2)=。
（2）f′(x)=x²-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)，
g′(x)=3x²+2bx-(2b+4)+=，
令p(x)=3x²+(2b+3)x-1，
①当1＜a≤2时，f(x)的极小值点x=a，
则g(x)的极小值点也为x=a，
所以，p(a)=0，即3a²+(2b+3)a-1=0，即b=，
此时，g(x)的极大值=g(1)=1+b-(2b+4)=-3-b=-3+=，
由于1＜a≤2，故≤×2--=；
②当0＜a＜1时，f(x)的极小值点x=1，则g(x)的极小值点为x=1，
由于p(x)=0有一正一负两实根，
不妨设x₂＜0＜x₁，所以0＜x₁＜1，即p(1)=3+2b+3-1＞0，故b＞-，
此时g(x)的极大值点x=x₁，
有





综上所述，g(x)的极大值小于等于．