Question

如图，已知圆C：x²+y²=2与x轴交于A₁、A₂两点，椭圆E以线段A₁A₂为长轴，离心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆E的左焦点为F，点P为圆C上异于A₁、A₂的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接求出a再利用离心率e=

2

2

求出c即可求出椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）先设出点P的坐标，利用条件求出点Q的坐标，再求出k_OP和k_PQ的表达式，利用点P在圆上，可以得直线PQ与圆C保持相切．

解答：解：（Ⅰ）因为a=

2

，e=

2

2

，所以c=1（2分）
则b=1，即椭圆E的标准方程为

x2

2

+y2=1（4分）
（Ⅱ）当点P在圆C上运动时，直线PQ与圆C保持相切（6分）
证明：设P（x₀，y₀）（x0≠±

2

），则y₀²=2-x₀²，
所以kPF=

y0

x0+1

，kOQ=-

x0+1

y0

，
所以直线OQ的方程为y=-

x0+1

y0

x（9分）
所以点Q（-2，

2x0+2

y0

）（11分）
所以kPQ=

y0- 2x0+2 y0

x0+2

=

y02-(2x0+2)

(x0+2)y0

=

-x02-2x0

(x0+2)y0

=-

x0

y0

（13分）
又kOP=

y0

x0

，所以k_OP⊥k_PQ=-1，
即OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆C相切（14分）

点评：本题是对圆和椭圆的综合考查．在做这一类型题目时，一定要画出图象，利用图象来分析问题．