Question

如图，已知圆C：x²+y²+10x+10y=0，点A（0，6）．
（1）求圆心在直线y=x上，经过点A，且与圆C相切的圆N的方程；
（2）若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的

1

4

，求直线m的方程．

Answer 1

分析：（1）由圆心在直线y=x上，设出圆心N（a，a）（a＞0），根据圆C与圆N相切，得到点为切点，表示出半径，进而写出圆的标准方程，将A坐标代入求出a的值，即可确定出圆N方程；
（2）将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径，显然直线x=0满足题意；由对称性得到圆心C到直线PQ距离为5，设出直线PQ方程，利用点到直线的距离公式求出k的值，确定出此时直线m方程，综上，得到所有满足题意直线m的方程．

解答：解：（1）由圆心N在直线y=x上，故设圆心N（a，a）（a＞0），
由圆N与圆C相切，根据题意得到切点为原点O，可得半径为

2

a，
圆N方程为（x-a）²+（y-a）²=2a²，
将A（0，6）代入得：a²+（6-a）²=2a²，即-12a+36=0，
解得：a=3，
则圆N方程为（x-3）²+（y-3）²=18；
（2）由圆C方程x²+y²+10x+10y=0，变形得：（x+5）²+（y+5）²=50，
∴圆心C（-5，-5），半径为5

2

，
由CD⊥P′Q′，得到CD=5，D为P′Q′中点，
令圆C方程中x=0，得到y=0或y=10，即P′Q′=10，P′D=Q′D=5，
∵y=x的倾斜角为45°，即∠CP′D=45°，
∴△CDP′为等腰直角三角形，同理△CDQ′为等腰直角三角形，
∵圆弧PQ恰为圆C周长的

1

4

，
∴CP′⊥CQ′，满足题意，此时直线m方程为直线x=0；
由对称性得到CB⊥PQ，且CB=5，
设直线m解析式为y-6=k（x-0），即kx-y+6=0，
∴

|-5k+5+6|

k2+1

=5，
整理得：（5k-11）²=25（k²+1），即25k²-110k+121=25k²+25，
移项合并得：110k=96，
解得：k=

48

55

，
此时直线m方程为48x-55y+330=0，
综上，直线m解析式为x=0或48x-55y+330=0，．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，弄清题意是解本题的关键．