Question

【题目】设函数f（x）=
（1）当 时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： a= 时，f（x）= ，

当x＜1时，f（x）=x2﹣3x是减函数，所以f（x）＞f（1）=﹣2，即x＜1时，f（x）的值域是（﹣2，+∞）．

当x≥1时，f（x）= 是减函数，所以f（x）≤f（1）=0，即x≥1时，f（x）的值域是（﹣∞，0]．

于是函数f（x）的值域是（﹣∞，0]∪（﹣2，+∞）=R．

（2）解：若函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，则下列①②③三个条件同时成立：

①当x＜1，f（x）=x2﹣（4a+1）x﹣8a+4是减函数，于是 ≥1，则a≥ ．

②x≥1时，f（x）= 是减函数，则0＜a＜1．

③12﹣（4a+1）1﹣8a+4≥0，则a≤ ．

于是实数a的取值范围是[ ， ]

【解析】（1）a= 时，f（x）= ，当x＜1时，f（x）=x2﹣3x是减函数，可求此时函数f（x）的值域；同理可求得当x≥1时，减函数f（x）= 的值域；（2）函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，三个条件需同时成立，① ≥1，②0＜a＜1，③12﹣（4a+1）1﹣8a+4≥0，从而可解得实数a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的性质和函数的值的相关知识点，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能正确解答此题．