Question

【题目】如图（1）五边形中，

,将沿折到的位置，得到四棱锥，如图（2），点为线段的中点，且平面.

（1）求证：平面平面；

（2）若四棱柱的体积为，求四面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：

（1）要证两平面垂直，就要证线面垂直，首先利用已知条件与平面垂直，为此取的中点，可证得四边形为平行四边形，所以，从而平面，也即

.于是由即及为的中点，可得为等边三角形，

，由，得， ，可得平面平面平面.

（2）利用棱锥体积公式，三棱锥的底面的面积是四棱锥的底面面积的，高为其一半，由体积公式可得结论．

试题解析：

（1）证明：取的中点，连接，则，

又，所以，则四边形为平行四边形，所以，

又平面，

∴平面，

∴.

由即及为的中点，可得为等边三角形，

∴，

又，∴，∴，

∴平面平面，

∴平面平面.

（2）解：设四棱锥的高为，四边形的面积为，

则，

又，四面体底面上的高为．

∴，

所以四面体的体积为．