Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2=4和直线l：x=4，M为l上一动点，A1 ， A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1 ， MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q．
（1）若M点的坐标为（4，2），求直线PQ方程；
（2）求证直线PQ过定点，并求出此定点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：当M（4，2），

则A1（﹣2，0），A2（2，0）．

直线MA1的方程：x﹣3y+2=0，

解 得 ．

直线MA2的方程：x﹣y﹣2=0，

解 得Q（0，﹣2），

由两点式可得直线PQ的方程为2x﹣y﹣2=0

（2）证明：设M（4，t），则直线MA1的方程： ，直线MA2的方程：

由 得

由 得

当 时， ，

则直线PQ：

化简得 ，恒过定点（1，0）

当 时， ，直线PQ：x=1，恒过定点（1，0）

故直线PQ过定点（1，0）

【解析】（1）求出A1 ， A2的坐标，可求直线MA1的方程、直线MA2的方程，与圆的方程联立，求出P，Q的坐标，由两点式求直线PQ方程；（2）设M（4，t），则直线MA1的方程： ，直线MA2的方程： ，分别代入圆的方程，求出P，Q的坐标，分类讨论，确定直线PQ的方程，即可得出结论．