Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD，PB⊥AC，Q是线段PB的中点． （Ⅰ）求证：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）求证：AQ∥平面PCD．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，AC，AB平面ABCD， ∴PA⊥AC，PA⊥AB，
∵PB⊥AC，AP⊥AC，PA，PB平面PAB，PA∩PB=P，
∴AC⊥平面PAB，
∵AB平面PAB，
∴AC⊥AB，PA⊥AB，PA，AC平面PAC，PA∩AC=A；
∴AB⊥平面PAC．
（Ⅱ）取PC中点E，连结QE，ED，
∵Q是线段PB的中点，E是PC的中点，
∴QE∥BC，BC=2AD，
∴QE∥AD，QE=AD，
∴四边形AQED是平行四边形，
∴AQ∥DE，
∵AQ∥ED，ED平面PCD，
∴AQ∥平面PCD．

【解析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质及PA⊥平面ABCD推断出PA⊥AC，PA⊥AB，进而利用PB⊥AC，推断出AC⊥平面PAB，利用线面垂直性质可知AC⊥AB，再根据PA⊥AB，PA，AC平面PAC，PA∩AC=A推断出AB⊥平面PAC．（Ⅱ）取PC中点E，连结QE，ED，推断出QE为中位线，判读出QE∥BC，BC=2AD，进而可知QE∥AD，QE=AD，判断出四边形AQED是平行四边形，进而可推断出AQ∥DE，最后根据线面平行的判定定理证明出AQ∥平面PCD．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对直线与平面垂直的判定的理解，了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．