Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由1﹣3x≠0得x≠0，

故函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．

由f（x）= ，可得3x= ＞0，

求得f（x）＞1，或f（x）＜﹣1，

f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．

（2）解：f（x）为奇函数，理由如下：

因为函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），

且 ，

所以，f（x）为奇函数．

【解析】（1）由1﹣3x≠0得x≠0，求得函数f（x）的定义域，由3x= ＞0，求得f（x）的范围，可得f（x）的值域．（2）因为函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的定义域及其求法和函数的值域的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零；求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的．