Question

已知f(x)≥

x

2+x2

（1）令g（x）=

x

2+x2

，求证：g（x）是其定义域上的增函数；
（2）设f_n+1（x）=f[f_n（x）]（n∈N₊），f₁（x）=f（x），用数学归纳法证明：fn(x)≥

x

2n+(2n-1)x2

（n∈N₊，n≥2）

Answer 1

分析：（1）求导数，证明其大于0即可；
（2）先证明n=2时，结论成立，再假设n=k（k∈N₊，k≥2）不等式成立，n=k+1时，利用f_k+1（x）=f[f_k（x）]即可证明．

解答：证明：（1）函数g（x）的定义域为R，
∵g′(x)=

2

(2+x2) 2+x2

＞0，
∴g（x）是其定义域R上的增函数．
（2）①n=2时，f₂（x）=f[f₁（x）]=f[f（x）]，由已知条件可得f[f(x)]≥

f(x)

2+[f(x)]2

再由（1）知g（x）是增函数，∴

f(x)

2+[f(x)]2

≥

x 2+x2

2+ x2 2+x2

=

x

4+3x2

即n=2时，不等式成立．
②假设n=k（k∈N₊，k≥2）不等式成立，即fk(x)≥

x

2k+(2k-1)x2

，
则n=k+1时，f_k+1（x）=f[f_k（x）]≥

fk(x)

2+[fk(x)]2

≥

x 2k+(2k-1)x2

2+ x2 2k+(2k-1)x2

=

x

2k+1+(2k+1-1)x2

，
即n=k+1时，不等式成立
综合①②知（n∈N₊，n≥2）时，不等式成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．