Question

 已知椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，且过点P，A为上顶点，F为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N.

(1) 求椭圆方程；

(2) 若圆N与x轴相切，求圆N的方程；

(3) 设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围．

Answer 1

解：(1) ∵  e＝，不妨设c＝3k，a＝5k，则b＝4k，其中k>0，故椭圆方程为＝1(a>b>0)，∵  P在椭圆上，∴  ＝1，解得k＝1，

∴  椭圆方程为＝1.

(2) k_AP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋4，令y＝t(0<t<4)，则x＝，∴  M，

∵  Q(0，t)，∴  N，

∵  圆N与x轴相切，∴  ＝t，由题意M为第一象限的点，则＝t，解得t＝，

∴  N，

圆N的方程为

(3) F(3，0)，k_PF＝，

∴  直线PF的方程为y＝(x－3)，即12x－5y－36＝0，

∴  点N到直线PF的距离为

∴  当0<t≤时，d＝(6－5t)＋(4－t)＝，此时≤d<；

当<t<4时，d＝(5t－6)＋(4－t)＝，此时<d<.

∴  综上，d的取值范围为.