Question

设数列{a_n}满足：a_n＋1＝－na_n＋1，n＝1,2,3，…

(1)当a₁＝2时，求a₂，a₃，a₄，并由此猜测{a_n}的一个通项公式；

(2)当a₁≥3时，证明对所有的n≥1，

(i)a_n≥n＋2；

(ii)＋＋＋…＋<.

Answer 1

(1)由a₁＝2，得a₂＝－a₁＋1＝3，

由a₂＝3，得a₃＝－2a₂＋1＝4，

由a₃＝4，得a₄＝－3a₃＋1＝5，

由此猜想{a_n}的一个通项公式：a_n＝n＋1(n≥1).

(2)(i)用数学归纳法证明：

①当n＝1时，a₁≥3＝1＋2，不等式成立，

②假设当n＝k时不等式成立，即a_k≥k＋2，那么

a_k＋1＝a_k(a_k－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5>k＋3.

也就是说，当n＝k＋1时，a_k＋1>(k＋1)＋2.

由①和②得对于所有n≥1，都有a_n≥n＋2.

(ii)由a_n＋1＝a_n(a_n－n)＋1及(i)，对k≥2，有

a_k＝a_k－1(a_k－1－k＋1)＋1≥a_k－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2a_k－1＋1

…迭代法

a_k≥2^k－1a₁＋2^k－2＋…＋2＋1＝2^k－1(a₁＋1)－1

于是≤·，k≥2

≤＋＝＝(1－)<≤＝.