Question

【题目】已知曲线C1的参数方程是 （φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标系方程是 ，正方形ABCD的顶点都在C1上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 ．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C2上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C1的普通方程是x2+y2=4，极坐标方程是ρ=2．

∴点A，B，C，D的极坐标为 ，

从而点A，B，C，D的直角坐标为 ．

（2）解：曲线C2的极坐标系方程是 ，两边平方可得：ρ2（4+5sin2θ）=36，可得直角坐标方程：4x2+9y2=36，即曲线C2的直角坐标方程是 ，其参数方程是 ，（θ为参数）．

故可设P（3cosθ，2sinθ）其中θ为参数．

∴t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=36cos2θ+16sin2θ+16=32+20cos2θ，

∴|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的最大值为52．

【解析】（1）曲线C1的普通方程是x2+y2=4，极坐标方程是ρ=2．即可得出点A，B，C，D的极坐标．（2）曲线C2的极坐标系方程是 ，两边平方可得：ρ2（4+5sin2θ）=36，利用ρ2=x2+y2 ， y=ρsinθ可得直角坐标方程，可得参数方程是 ，（θ为参数）．故可设P（3cosθ，2sinθ）其中θ为参数．利用两点之间的距离公式可得t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=32+20cos2θ，即可得出．