Question

【题目】若函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：对任意的正整数都有，.

Answer 1

【答案】（1）上单调递减，在上单调递增； （2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）求导后，令可确定其在范围内的根，进而得到导函数的正负，从而得到原函数的单调性；

（2）将恒成立的不等式转化为，令，则只需，利用导数可求得，进而得到结果；

（3）取，结合（2）的结论可得，根据可裂项相加证得结论.

（1）由题意得：定义域为，，

设，，

有两个根，设为，且，

，，，则，

当时，；当时，，

在上单调递减，在上单调递增.

（2），，又，，

设，，

令，则，在上单调递减，

又，则当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，，

恒成立即，即的取值范围为.

（3）取，由（2）知：，，

当时，，，；

取，得；取，得；……；取，得；

将这个式子相加得：.