Question

【题目】已知，函数的图象与轴相切．

（1）求实数a的值；

（2）求的单调区间；

（3）当时，恒有，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2）单调递减区间为，单调递增区间为．（3）

【解析】

（1）根据题意，设切点为，求出函数的导数表达式，根据图像特征，可得，解方程即可求得实数a

（2）由（1）得，再令导数为0，根据导数正负判断函数增减性即可

（3）当时，恒有等价于，当时恒成立，再利用来研究函数的单调性，由于一阶导数无法直接判断正负，故需求解二阶导数，由于参数的存在，还需对参数进行分类讨论，进一步验证函数的恒成立问题即可

解：（1），设切点为，

依题意，即解得，所以．

(2) ，当时，；当时，．

故的单调递减区间为，单调递增区间为．

（3）令，．

则，令，则，

（ⅰ）若 ，因为当时，，，

所以，所以即在上单调递增．

又因为，所以当时，，从而在上单调递增，而，

所以，即成立．

（ⅱ）若，可得在上单调递增．

因为，，

所以存在，使得，且当时，，

所以即在上单调递减，

又因为，所以当时，，

从而在上单调递减，

而，所以当时，，即不成立

综上所述的取值范围是