Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面，，为棱上一点，为的中点，四棱锥的体积为.

（1）若为棱的中点，是的中点，求证：平面平面；

（2）是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点位于的靠近点的三等分点.

【解析】

（1）根据面面平行的判定定理，即可证明结论成立；

（2）假设存在点满足题意，根据题中条件，先求出的长，再以为坐标原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，得到，，，，设，分别表示出平面与平面的一个法向量，根据向量夹角余弦值，求出，即可得出结果.

（1）证明：因为、分别是、的中点，

所以，

在矩形中，，

所以，

又因为、分别是、的中点，

所以，

又因为，，

平面，平面，

所以平面平面.

（2）解：假设棱上存在点满足题意.

在等边三角形中，为的中点，

于是，

又平面平面，

平面平面，

平面，

所以平面，

所以是四棱锥的高，

设，则，，

所以，

所以，

以为坐标原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，

设，

，，

设平面的一个法向量为，有

，

令，则，

易知平面的一个法向量，

所以，

因为，

所以，

所以存在点，位于的靠近点的三等分点.