Question

【题目】已知函数.（）

（1）若在区间上单调递减，求实数的取值范围；

（2）若在区间上，函数的图象恒在曲线下方，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据函数在上单调递减转化为在上恒成立问题，再通过不等式恒成立条件求解即可

（2）令，根据在区间上，函数的图象恒在曲线下方转化成在区间上恒成立，求得，分别对和进行分类讨论，结合正负判断单调性，再结合恒成立问题进一步求解即可

解：（1）在区间上单调递减，

则在区间上恒成立．

即，而当时，，故．

所以．

（2）令，定义域为.

在区间上，函数的图象恒在曲线下方等价于在区间上恒成立.

∵

①若，令，得极值点，，

当，即时，在（，+∞)上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；

当，即时，同理可知，在区间上，

有，也不合题意；

②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；

要使在此区间上恒成立，只须满足，

由此求得的范围是

综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方.