Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1，（a∈R）．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间与最值；
（2）若f（x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的最值；
（2）f（x）在R上单调递增，则f'（x）=e^x-a≥0恒成立，分离参数，即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=e^x-2x-1，∴f'（x）=e^x-2．…（2分）
令f'（x）＞0，即e^x-2＞0，解得：x＞ln2；
令f'（x）＜0，即e^x-2＜0，解得：x＜ln2；            …（4分）
∴f（x）在x=ln2时取得极小值，亦为最小值，即f（ln2）=1-2ln2．  …（5分）
∴当a=2时，函数f（x）的单调增区间是（ln2，+∞），递减区间为（-∞，ln2）f（x）的最小值为：1-2ln2…（7分）
（2）∵f（x）=e^x-ax-1，∴f'（x）=e^x-a．
∵f（x）在R上单调递增，∴f'（x）=e^x-a≥0恒成立，
即a≤e^x，x∈R恒成立．
∵x∈R时，e^x∈（0，+∞），∴a≤0．
即a的取值范围为（-∞，0]．                  …（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导是关键．