Question

19．已知两个单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，且满足$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-$\frac{1}{2}$，存在向量$\overrightarrow{c}$使cos（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=$\frac{1}{2}$，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由∠AOB=120°，∠ACB=60°可知C在圆弧上运动，作出图形得出|$\overrightarrow{c}$|取得最大值时的位置，利用正弦定理求出外接圆直径．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1，∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为120°，
不妨设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
则$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$，∵cos＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=60°，
∴C在圆x²+y²=1的优弧$\widehat{AB}$上或C在△AOB的外接圆的优弧$\widehat{AB}$上．
显然|$\overrightarrow{c}$|得最大值为△AOB的外接圆直径．
由正弦定理可知外接圆直径2R=$\frac{OA}{sin∠ABO}$=$\frac{1}{sin30°}$=2，
∴|$\overrightarrow{c}$|的最大值为2．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的运算，正弦定理得应用，属于中档题．