Question

14．设函数$f（x）=\sqrt{{e^x}+2x-a}$，若曲线y=cosx上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，e]
• B． [e^-1-1，1]
• C． [1，e+1]
• D． [e^-1-1，e+1]

Answer 1

分析 考查题设中的条件，函数f（f（y₀））的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了四个选项，0出现在了B，D两个选项的范围中，e+1出现在了C，D两个选项所给的范围中，故可通过验证参数为0与e+1时是否符合题意判断出正确选项．

解答 解：曲线y=cosx上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，则y₀∈[-1，1]
考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，
A，B，C，D四个选项参数都可取1，
由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项
当a=0时，f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+2x}$，是一个增函数，且函数值恒非负，
故只研究y₀∈[0，1]时f（f（y₀））=y₀是否成立
由于f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+2x}$是一个增函数，可得出f（y₀）≥f（0）=1，
而f（1）=$\sqrt{e+2}$＞1，故a=0符合题意，由此知A、C两个选项不正确
当a=e+1时，f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+2x-e-1}$，此函数是一个增函数，
f（1）=$\sqrt{e+2-e-1}$=1，f（f（1））=f（1）=1，
故a=e+1符合题意，故A，B两个选项不正确
综上讨论知，可确定A、B，C三个选项不正确．
故D选项正确．
故选：D．

点评 本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点，判断出参数0与e+1是两个特殊值，结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探究的能力，属于考查能力的综合题，易因为找不到入手处致使无法解答失分，易错．