Question

3．经过点M（-2，-4）且倾斜角为45°的直线l与抛物线C：y²=2px（p＞0）交于A、B两点，|MA|、|AB|、|BM|成等比数列．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程；
（Ⅱ）求p的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据倾斜角为45°，即参数为$\frac{\sqrt{2}}{2}t$，可得直线l的参数方程．
（Ⅱ）把参数方程代入y²=2px，直线参数方程的几何意义求解即可．

解答 解：（Ⅰ）过点M（-2，-4）且倾斜角为45°，设参数为t，则直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅱ）把参数方程代入y²=2px，得${t^2}-（2\sqrt{2}p+8\sqrt{2}）t+32+8p=0$，${t_1}+{t_2}=2\sqrt{2}p+8\sqrt{2}$，t₁t₂=32+8p，
根据直线参数的几何意义，可得|MA||MB|=|t₁t₂|=32+8p，
那么：$|AB{|^2}={（{t_1}-{t_2}）^2}={（{t_1}+{t_2}）^2}-4{t_1}{t_2}={（2\sqrt{2}p+8\sqrt{2}）^2}-4（32+8p）=8p（p+4）$，
∵|MA|、|AB|、|BM|成等比数列，
∴|AB|²=|MA||MB|，8p（p+4）=32+8p，p＞0．
故得p=1．

点评 本题考查了直线l的参数方程的求法以及直线参数方程的几何意义，属于中档题．