Question

【题目】已知函数是定义在上的偶函数，当时，.

（1）直接写出函数的增区间（不需要证明）；

（2）求出函数，的解析式；

（3）若函数，，求函数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）。

【解析】

（1）根据题意，由偶函数的性质结合二次函数的性质分析可得答案；

（2）设x＞0，结合函数的奇偶性，从而得到函数的解析式；

（3）先求出g（x）的表达式，求出对称轴，通过讨论对称轴的位置，得到函数g（x）的最值

（1）根据题意，f（x）的增区间为（﹣1，0）、（1，+∞）；

（2）根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，

又由f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，

f（x）=f（﹣x）=x2+2x；

故函数的解析式为f（x）=；

（3）由（2）可得当x∈[1，2]，f（x）=x2﹣2x，

则g（x）=f（x）﹣2ax+2=x2﹣2（a+1）x+2，

对称轴方程为：x=a+1，

①当a+1≤1时，g（x）min=g（1）=1﹣2a为最小；

②当1＜a+1≤2时，g（x）min=g（a+1）=﹣a2﹣2a+1为最小；

③当a+1＞2时，g（x）min=g（2）=2﹣4a为最小

故g（x）=．