Question

已知函数f(x)的定义域为［0,1］,且满足下列条件:

①对于任意x∈［0,1］,总有f(x)≥3,且f(1)=4;

②若x₁≥0,x₂≥0,x₁+x₂≤1,则有f(x₁+x₂)≥f(x₁)+f(x₂)-3.

(1)求f(0)的值;

(2)求证:f(x)≤4;

(3)当x∈(］(n=1,2,3,…)时,试证明f(x)＜3x+3.

(文)如图,设抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,且A、B两点坐标为(x₁,y₁)、(x₂,y₂),y₁＞0,y₂＜0,P是此抛物线的准线上的一点,O是坐标原点.

(1)求证:y₁y₂=-p²;

(2)直线PA、PF、PB的方向向量为(1,a)、(1,b)、(1,c),求证:实数a、b、c成等差数列;

(3)若=0,∠APF=α,∠BPF=β,∠PFO=θ,求证:θ=|α-β|.

Answer 1

(1)解:令x₁=x₂=0,

由①对于任意x∈［0,1］,总有f(x)≥3,

∴f(0)≥3.                                                              

又由②得f(0)≥2f(0)-3,

即f(0)≤3;                                                            

∴f(0)=3.                                                               

(2)证明:任取x₁、x₂∈［0,1］,且设x₁＜x₂,

则f(x₂)=f［x₁+(x₂-x₁)］≥f(x₁)+f(x₂-x₁)-3,

∵0＜x₂-x₁≤1,∴f(x₂-x₁)≥3,

即f(x₂-x₁)-3≥0.

∴f(x₁)≤f(x₂).                                                           

∴当x∈［0,1］时,f(x)≤f(1)=4.                                            

(3)证明:先用数学归纳法证明

f()≤+3(n∈N^*).

(1)当n=1时,f()=f(1)=4=1+3=+3,不等式成立;

(2)假设当n=k时,f()≤+3(k∈N^*),

由f()=f［+(+)］

≥f()+f(+)-3

≥f()+f()+f()-6

得3f()≤f()+6≤+9.

∴f()≤+3,

即当n=k+1时,不等式成立.

由(1)(2),可知不等式f()≤+3对一切正整数都成立.

于是,当x∈(,］(n=1,2,3,…)时,3x+3＞3×+3=+3≥f(),

而x∈［0,1］,f(x)单调递增,

∴f()＜f().

∴f(x)＜f()＜3x+3.                                                     

(文)证明:(1)①当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=,则A(,p),B(,-p),

∴y₁y₂=-p².                                                               

②当直线AB的斜率存在且不为0时,设直线AB的方程为y=k(x),

则由可得ky²-2py-kp²=0(k≠0).∴y₁y₂=-p².                        

(2)由已知a=k_PA,b=k_PF,c=k_PB,

设P(,t),F(,0),

∴a=,b=,c=;

且x₁=,x₂=.

故a+c=

=

=

=

=.

∴a、b、c成等差数列.                                                  

(3)证法一:∵=0,

∴PA⊥PB,故a·c=-1.

由(2)可知a+c=2b,即a-b=b-c.

①若AB⊥x轴,则α=β=45°,θ=0°,

∴θ=α-β.

②若k_AB＞0,则

tanα=.

同理可得tanβ=a,

∴tan(α-β)=,

即|tan(α-β)|=|b|=tanθ.

易知∠PFO、∠BPF、∠APF都是锐角.

∴θ=|α-β|.

③若k_AB＜0,类似地,也可证明θ=|α-β|.

综上所述,θ=|α-β|.                                                       

证法二:∵=0,∴PA⊥PB.

故a·c=-1.

①如图,若AB⊥x轴,则α=β=45°,θ=0°,

∴θ=α-β.

②若k_AB＞0,∵A、B在抛物线上,

∴|AF|=|AC|,|BF|=|BD|.

设AB中点为M,则

|PM|=,

∴PM是梯形ABDC的中位线,

故P是CD中点.

∴P(),t=,

F(,0),

=(p,),

又=(x₂-x₁,y₂-y₁),

∴=p(x₂-x₁)

=p(x₂-x₁)=0.

∴.

∴△PDB≌△PBF.

∴∠BPF=∠DPB=β.

∴θ+2β=90°=α+β.∴θ=α-β.

③若k_AB＜0,类似②可证θ=β-α,

∴θ=|α-β|.